今日の1題
2f4ae6c6d2bb08d52032e1edc3768a84反復試行
今日は反復試行について考えたいと思います。反復試行とは，1個のさいころを続けて投げる場合のように，同じ条件の下で，同じ試行を何回も繰り返す試行のことをいいます。1回ごとの試行はすべて独立なので，反復試行について，次のことが成り立ちます。
1回の試行で事象\(A\)の起こる確率が\(p\)である試行を\(n\)回行う反復試行において，\(A\)がちょうど\(r\)回起こる確率は
\(_n\mbox{C}_rp^r(1-p)^{n-r}\)
ここで注意したいのは， \(_n\mbox{C}_r\) をかけることです。\(n\)回の試行において，\(A\)が起こることを〇，起こらないことを×としたときに，\(A\)が\(r\)回起こる場合は1通りではなく，〇\(r\)個，×\(n-r\)個の並べ方である \(_n\mbox{C}_r\) 通りだけあるので，それをかけるわけです。それでは簡単な問題をやってみましょう。
4b4bdcadb3d7e82d38582fb6b442892c次は，1回の試行について，注目する事象が3通り以上ある反復試行について考えます。例えば，1回の試行で事象\(A\)が起こる確率が\(p\)，\(B\)が起こる確率が\(q\)，\(C\)が起こる確率が\(r\)である試行(ただし，\(A\)と\(B\)と\(C\)は互いに影響を及ぼさない)を\(n\)回行う反復試行において，\(A\)が\(k\)回，\(B\)が\(l\)回，\(C\)が\(m\)回起こる確率は，\(A\)\(k\)個，\(B\)\(l\)個，\(C\)\(m\)個の並べ方を考えて，\(k+l+m=n\)より
\(\frac{n!}{k!l!m!}p^kq^lr^m\)
となります。それでは，ここで1題。
0aa2927eb59f2c3be80141d0f0e25767次は，状況が少し複雑になり，単純に \(_n\mbox{C}_r\) や \(\frac{n!}{k!l!m!}\)をかけてはならない場合です。
a4cc9d6ce07715b2c77cd5fe251dfac0これを一般化したものが次の問題です。
336a3c5184435dd12740a0f2ce1584a9これらから分かるように，連続して表が出る回数が投げる回数の半分以上のときは，連続して表が出るのがどこからスタートするかで場合分けをして比較的簡単にできます。ところが，連続して表が出る回数が半分より少なくなると，安易にこのように場合分けをしてしまうと重複が生じてしまい，より慎重に場合分けをしなければならないので少し難しくなります。
7817f5d7af59107aa51441120bd01c90「3回以上表が続かない」となると，はじめに×を並べて間に〇を入れると考えるのは少し面倒なので，審議の＊を使いながら並べるとよいと思います。
e7b08476fd361ca47c3e9eae194c275aこの2題で，なぜ上のように安易に場合分けしてはだめなのかが理解できると思います。前を安易に△にしてしまうと，連続～回表がそれより前で始まってしまう可能性があるからだめなのです。このような問題は少し難しいので，まずは，連続表が投げる回数の半分以上のパターンをマスターしておくとよいと思います。それでは，そのような問題である今日の1題です。
2f4ae6c6d2bb08d52032e1edc3768a84いかがでしたでしょうか。やり方によっては，すべての場合を書き出したりして面倒になったりすることがあると思いますので，今日紹介したようにやるとよいと思います。それでは類題を1つ付けておきます。ではまた。
b82efe95e0da6914d857819e3ce39434
コメント