分母の有理化

今日の1題

分母の有理化

分母の有理化とは，\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)のように，分母にある無理数を有理数に直す操作のことです。中学ではこれで十分ですが，高校になると分母に\(\sqrt{　}\)が2個，3個あるものを有理化する問題が出てきます。次の問題を考えてみます。

次は分母の\(\sqrt{　}\)が3個ある場合です。

この問題は3つの\(\sqrt{　}\)を2つ，1つの組に分けて考えます。つまり，

　\(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})+\sqrt{c}}\cdot\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{c}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{c}}\)

のようにして計算します。ここで，大切なのは\(a+b=c\)となるときは，\(\sqrt{a}\)と\(\sqrt{b}\)で組を作ると，

　\(\{(\sqrt{a}+\sqrt{b})+\sqrt{c}\}\{(\sqrt{a}+\sqrt{b})-\sqrt{c}\}\\=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-(\sqrt{c})^2\\=a+2\sqrt{ab}+b-c=2\sqrt{ab}\)

となるので，分母が簡単になり，その後の計算が楽になります。次の問題のように\(a+b=c\)とできないときは，どのような組合せでもよいので，ひたすら計算するしかありません。このような問題は決して良い問題とは思えませんが，1つあげておきます。

それでは，今日の1題

この問題も4つの\(\sqrt{　}\)をどのように分けて計算するかがカギになります。解答を見ながら考えてみて下さい。個人的には別解のようにできる場合は，別解のようにやるのがよいと思います。いかがでしたでしょうか。最後に類題を1つ付けておきます。