対称式1

今日の1題

対称式

対称式とは，どの文字を入れ替えてももとと同じ式となる式のことです。

例えば，\(x+y\)は\(x\)と\(y\)を入れ替えると\(y+x\)ですが，\(y+x=x+y\)であるので対称式です。

「どの」文字もというのは，文字が3文字以上ある場合に\(x+y+z\)であれば\(x\)と\(y\)，\(y\)と\(z\)，\(z\)と\(x\)のどれを入れ替えてももとと同じ式になるので対称式ですが，\(x^2+y^2+z\)のように\(x\)と\(y\)を入れ替えればもとと同じ式になりますが，\(y\)と\(z\)を入れ替えるともとと異なる式になるのでこれは対称式ではありません。

この対称式は非常に良い性質があり，すべての対称式は基本対称式のみを用いてただ1通りに表すことができる。というものがあります。

ここで，基本対称式とは文字が\(x,~y\)の2種類のときは\(x+y, xy\)，\(x,~y,~z\)の3種類のときは\(x+y+z, xy+yz+zx, xyz\)のことを言います。対称式の計算をするときは，この事実をぜひ使いたいものです。

この問題の(1)と(2)は実は同じ問題です。(1)のように与えられれば，受験生であれば対称式の計算は相当やっているはずですから，ああ対称式の問題かとなると思いますが，(2)のように与えられるとどうでしょうか。展開や2項定理の問題と思ってしまうかもしれません。次もよくある問題です。

もう少しやってみましょう。

それでは今日の1題です。

いかがでしたでしょうか。計算は強引にただやるのではなく，工夫することによって時間を短縮しミスを減らすことも大切です。その前提として基本的な計算力もつけておくことも大切です。最近つくづく思うことですが，計算はやはりある程度ドリルなどで練習することも大切ですね。中学生を指導していて痛感させられました。それでは。