漸化式分数型一般型1

今日の1題

漸化式分数型一般型

分数型の漸化式の解き方について考えます。分数型の漸化式の一般形とは

\(a_{n+1}=\frac{pa_n+q}{ra_n+s}~(r \ne 0, ps-qr \ne 0)\)

という形のものを指します。それに対して，分子の定数項が0である

\(a_{n+1}=\frac{pa_n}{ra_n+s}\)

を特殊形ということにします。特殊形は逆数をとって，\(b_n=\frac{1}{a_n}\)などとおけば，\(b_{n+1}=ub_n+v\)という形に持ちこむことができて，これから\(b_n\)を求め，さらに\(a_n\)を求めることができます。このようにして，特殊形は比較的容易に解くことができますが，一般形はそう簡単ではなく，大学入試などでも誘導なしに出題されることはほとんどありません。誘導にもいくつかのタイプがあり，今回は分数型一般形の最も原則となる解き方について考えます。分数型一般形では\(b_n-k\)(\(k\)は定数)とおいて\(k\)をうまく定めると，分数型の特殊形に持ちこむことができます。そこまでできれば，あとは特殊形の解法に則って解けばよいだけです。問題の表現は少し異なりますが，いくつか解いてみましょう。

1問目と2問目はほぼ同じことです。係数のつき方によって少し異なるように感じるだけです。3問目は分数型は逆数をとれば \(b_{n+1}=ub_n+v\) の形になるので，はじめから逆数をとってしまおうというだけのことで，やっていることは同じです。これらが，分数型一般形の解法の原則となります。\(b_n=a_n-k\)とおくことがポイントで，さらに，この\(k\)をどのように定めるかもポイントです。それでは今日の1題です。

\(b_n\)をなぜこのようにおくかは上の3問を参考にして下さい。その理屈に関しては問われていないので，上の3問よりは簡単だと思います。練習問題を1つつけておきます。

いかがでしたでしょうか。他にも置き換え方はありますが，すべては今日の置き換え方が前提となっています。それについてはまたの機会にしたいと思います。では。