今日の1題
b99e9301cd747261c8153d7d60dea675中線定理
中線定理とは，次のような定理です。
\(\bigtriangleup\mbox{ABC}\)において，線分\(\mbox{BC}\)の中点を\(\mbox{M}\)とするとき，
\(\mbox{AB}^2+\mbox{AC}^2=2(\mbox{AM}^2+\mbox{BM}^2)\)
が成り立つ。というものです。
e536335db7c5d8119e3592f5573acf14私自身，この定理は特に覚える必要などないと思っていましたが，知っているとわりと役に立つことがあるものだと最近感じています。もう1つ，この定理の発展形として，次のような定理があります。
635457e516c4cbed2268ad334903c47fこれを一般化したものをスチュワートの定理といい，それは次のようなものです。
\(\bigtriangleup\mbox{ABC}\)において，線分\(\mbox{BC}\)を\(m:n\)に内分する点を\(\mbox{P}\)とするとき，
\(n\mbox{AB}^2+m\mbox{AC}^2=(m+n)(\mbox{AP}^2+\mbox{BP}\cdot\mbox{CP})\)
が成り立つ。というものです。
c6c2529c98a0a27719910c5f60817f2fそれでは，これらの定理を適用する問題を考えてみましょう。
61e7a7681fa6423c31a0a1856b53dda1問題をやってみて分かると思いますが，この定理は式は覚えづらく，忘れてしまったらお終いなので，使い勝手は決して良くはありません。本問も中線定理やスチュワートの定理を使う解法以外のものの方をしっかり理解しておいた方がよいと思います。図形問題を考えるときの道具は，主に初等幾何(中学で学習した幾何)，三角比，ベクトル，座標です。前の方の初等幾何，三角比は幾何的なひらめきや対称性が必要となり，順にひらめきでなく計算で何とかするという力技的要素が強まります。理系はこの他の道具として複素数平面というものもあります。
中線定理の利用
今回は，この定理をうまく当てはめて使えるようにするということではなく，知っていると簡単に解けるものがあるということを紹介したいと思います。それでは，いろいろな問題を解いてみましょう。
87f0bebccca15acd9f0764fc3989ded6 01585207cf4c589b459f6c83f0ea24bd eb2063361e61290b1f5d5b676f5e629bこれらは，比較的よくある問題です。まずは定番の解き方をしっかり押さえつつ，中線定理による解き方も知っておくとよいかもしれません。定番の解き方とは，動点を\(\mbox{P}(a,b)\)などとおいて，2点間の距離の公式から\(a, ~b\)の2変数の関数を作り，最大最小を求めるというものです。あまりお勧めはできませんが，せめて三角関数等を利用して簡単に済ませたいものです。3次元における問題も東北大(2012年後期)で出題されています。
次は図形問題を2つやってみましょう。
ee471296b24204b2b5e2307d3ab2128b 118e2e4d29cf26348701bbcfd8b95ab2すべてに言えることは，中線定理を利用して定数を作り出し，変数を減らして問題を簡単にしようということです。中線定理は正直使い勝手が悪いのでいかがなものかと思っていましたが，なかなか便利なものです。最後に中線定理を利用して，幾何学的事実を示す問題について考えます。これも動点を\(\mbox{P}(a,b)\)などとおいてもできますが，それではあまりに面倒ですし，味気ないです。それでは今日の1題です。
b99e9301cd747261c8153d7d60dea675いかがでしたでしょうか。私自身も今までは中線定理といっても，図形と方程式の分野に入ったばかりのときに，2点間の距離の公式をやった後で中線定理を座標を用いて証明することくらいしかしていませんでしたが，意外と使える定理なのかなと感じています。しかし，やはり使い勝手は悪いので，普通のやり方をやった上でなのかなという気はしています。それでも，少しでも中線定理を学ぶモチベーションになればよいのかなとは思いますので，参考になれば幸いです。では。
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