今日の1題
4fb4b3ea1922c8e0b8eea2444114a82c相加相乗平均
今日は相加相乗平均の不等式について考えます。相加相乗平均の不等式とは，簡単に言えば
相加平均(加えたものの平均)は相乗平均(かけたものの平均)より大きいまたは等しい。
という関係が常に成り立つということです。この不等式は最大値・最小値を求めるのに利用したり，証明方法にも様々な方法があるので，大学入試でもよくネタにされます。まずは，変数の種類が少ないときの相加相乗平均の不等式の証明をやってみます。
1f74c58f5337d52d6a81ea4e1f60d704ほぼ同じことですが，次のようにしても証明できます。
e639f8330ba4ac19a369f40cd243a4b3変数が2種→4種→3種となっていて奇妙な感じがするかもしれませんが，一般に変数が\(n\)種のとき，数学的帰納法で証明する場合に2種→4種→8種→…→\(2^n\)種を証明して，\(2^n\)種→\(2^n-1\)種という順で証明するので，理に適った問題だと思います。次は最大値・最小値の問題をいくつか考えてみます。
f18df18c29dc30ab484ef05e03839daf e87a7046c54c73940a377d9bb7fa4e8eこれらも受験生であればおなじみの問題だと思います。相加相乗平均の不等式を利用してうまく変数を消して最大値・最小値を求めます。次は変数が3種，4種の場合です。
28bb8ec86161636b9d5c8d6790d22361 a0d817fda46d5942a8a8c64bf7e01ffd次は文章問題ですが，核心的なところは\(x^2+\frac{2}{x}\)の扱いです。これはそのまま変数が2種の相加相乗平均の不等式を利用すると
\(x^2+\frac{2}{x} \geq 2\sqrt{x^2 \cdot \frac{2}{x}}=2\sqrt2\sqrt{x}\)
で，変数が消えないので工夫が必要になります。どうすればよいか考えてみて下さい。
7d433a3cd9d0c4d4d638ce04a9daa7e1当然微分を利用しても求めることもできるかもしれませんが，相加相乗平均を利用した方が簡単にできると思います。それでは，今日の1題です。
4fb4b3ea1922c8e0b8eea2444114a82cいかがでしたでしょうか。最後に類題を1つ付けておきます。ではまた。
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