特殊な置換積分2

今日の1題

線対称性を利用した定積分

今日は線対称性を利用した定積分について考えます。関数\(f(x)\)と\(g(x)\)があって，

　\(\displaystyle{f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=g(x)}\)

が成り立つならば，\(y=f(x)\)と\(y=g(x)\)のグラフは\(x=\frac{\pi}{4}\)に関して対称です。このとき，\(\displaystyle{I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f(x)dx,~J=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}g(x)dx}\)とすると，\(I=J\)が成り立ちます。これは，例えば\(f(x)=\sin x, g(x)=\cos x\)とすれば，\(y=f(x)\)と\(y=g(x)\)は\(x=\frac{\pi}{4}\)に関して対称であるから，これらのグラフを考えれば簡単に確かめることができます。

また，\(I\)と\(J\)がそのままでは計算しづらい場合に，これらの和や差や定数倍の和や差を考えて積分しやすい関数に持ちこんで，\(I=J\)を利用して定積分の値を求めるというのはよくある手法です。それではその典型的な問題から考えてみます。

それではもう1題。

次はこの性質を応用した問題です。

次の問題はこの問題を少し抽象化したものです。

それでは今日の1題です。

いかがでしたでしょうか。これらの問題も大学入試ではわりと見かけるので，この前の点対称性を利用した定積分とともに基本パターンとして理解しておくとよいと思います。参考書等を見てもよく載ってはいるのですが，分類がうまくなされていないので，線対称性を利用したものとして，偶関数の定積分の延長上のものと理解しておくとよいと思います。1題類題を付けておきます。ではまた。